domingo, 28 de abril de 2013

Razonamiento lógico matemático


EXANI-II de selección

 Razonamiento lógico matemático

1. Sucesiones Alfanuméricas y De Figuras

1.1 Reconocimiento de patrones en series alfanuméricas y de figuras
Sucesiones Alfanuméricas

SUCESIONES ALFANUMERICAS Y DE FIGURAS
son patrones de figuras o números que siguen un orden lógico, se utilizan mucho en los exámenes de CI y habilidad matemática, el propósito es desarrollar y ejercitar la inteligencia.

Ejemplo:

que numero continua a la siguiente serie?

1,0,2, -1,3,

la respuesta sería -2 pues siguiendo el orden lógico de la secuencia es así:

1 menos 1 es igual a 0, más 2 es igual a 2, menos 3 es igual a -1, más 4 es igual a 3 entonces podemos deducir que el siguiente numero es -2 pues vemos que se le suman o restan números de manera ascendente por lo que seguiría restarle -5 al 3 que nos dios antes, por eso la repuesta es -2
lo mismo pasa con las figuras:
que figura sigue a la secuencia?
Triangulo, cuadrado, pentagono,..
la figura seria un hexagono pues si miras la relacion que existe entre las figuras te das cuenta que va en orden ascendente por sus lados.

EJERCICIOS

01. ¿Qué número sigue?
4; 11; 30; 85;......
A) 97
B) 95
C) 100
D) 248
E) 87

02. Halle el término que sigue en:
1; 2; 3; 6; 6; 12; 10;.........
A) 15
B) 17
C) 20
D) 24
E) 36


03. ¿Qué letra sigue?
A; C; F; K;......
A) R
B) T
C) S
D) U
E) Y
04. Qué número sigue en:
15; 19; 28; 44;......
A) 45
B) 80
C) 69
D) 52
E) 70

05. Hallar el número que sigue en:
6; 7; 19; 142;.....
A) 1 376
B) 284
C) 143
D) 1 467
E) 482

Calcular el número que sigue en:
2; 4; 24; 432;.......
A) 32 823
B) 864
C) 1 728
D) 8 721
E) 23 328

Qué número sigue en:
9; 8; 7; 13; 12; 11; 17; 16; 15;......
A) 15
B) 16
C) 19
D) 20
E) 2144

1.2.- Reconocimiento de patrones en series alfanuméricas y de figuras & Reconocimiento deerrores en el patrón de una serie:
En sí s para k reconozcamos una secuencia de números por ejemplo: si nuestro patrón es de 10hay que llenar las casillas con los números de 10 en 10 puesto que ese s nuestro patrón,entonces quedaría 10 -20 -30 - 40 -50 etc...no se si me entiendas y el reconocer errores deestos patrones seria x ejemplo que pusieran en el examen 10 -30-40-50-60 etc entonces elerror es el 30 puesto que rompe con el patrón de 10 en 10.Bueno chek sta pagina ahi vienen mas ejercicios, es de pedagogía pero vienen buenosejemplos:es un pdf ntonces tendras k bajar el archivo, no es muy pesadowww.pedagogiaconceptual.com/.../Regulari si no ncuentras la pagina pon en googlereconocimientos de patrones y te aparecerá un link k dic: area: matematicas pdf ese es


2.- Planteamiento y resolución de problemas

2.1.- Planteamiento algebraico de problemas a partir de una descripción verbal
convertir el texto a lenguaje algebráico para resolver el problema.ejemplo:descripción verbal:un número mas el doble de ese número es igual a docelenjuage algebráico:x + 2x = 12respuesta:x = 4
http://docente.ucol.mx/grios/algebra/lenguajealgebraico.htm 

 Planteamiento algebraico de problemas a partir de una descripción verbalSe diseñaron cuatro problemas verbales de álgebra y cuatro numéricos.Los problemas verbales fueron los siguientes:1. ³La suma de las edades de A y B es de 84 años, y B tiene ocho añosmenos que A. ¿Cuál es la edad de A? ¿Cuál es la edad de B?´.2. ³Hace dos años Jorge tenía cinco veces la edad de Rafa. Ahora esocho años mayor que Rafa. ¿Cuál es la edad actual de Jorge?´.3. ³Un estudiante saca calificaciones de 75 y 82 en sus dos primerosexámenes. ¿Qué calificación en el próximo examen subirá su promedioa 85?´.4. ³Pagué 87 pesos por un libro, un traje y un sombrero. El sombrerocostó cinco pesos más que el libro y veinte menos que el traje.¿Cuánto pagué por cada cosa?´.Los problemas numéricos fueron:
1)

X
=
X;

2
 )
X
= Y
;

3)
5 ± x = 8 ± y
;

4)
Problema
a b = b a.

2.2*Aplicación de operaciones aritméticas y algebraicas básicas para resolver problemas :
3+a+5+a=502a=50-3-52a=42a=42/2a=213+21+5+21=50el primero se refiere a que, deberas de aplicar ecuaciones matematicas a partir de temas de lavida diaria.. por ejemplo:
Descripción: http://htmlimg4.scribdassets.com/2swoktplz4133f5n/images/1-17974cb6cb.png
 
el problema seria asi (de manera verbal): si juan tiene 3 de un mismo valor, y al quitarle unamoneda, se queda con 10 pesos.. ¿cual es el valor de cada una de las monedas?aplicando la ecuacion algebraica, obtendras que cada moneda vale 5 pesos-------- de ese tipo de problemas tratara, tambien puede que haya problemas sobre calcular elcosto de una cantidad determinada de kilos sobre cualquier cosa :)el segundo, es usar operaciones basicas, como los son (suma, resta, multiplicacion, division,potenciacion, division, raiz cuadrada) y te pondran, por ejemplo:2x(3x+2x)ahi aplicaras la ley del orden de las operaciones, resolviendo primeramente lo que está dentrodel parentesis...2x(3x+2x)2x(5x)10x^2

3.- Percepcion espacial

3.1*dentificación de figuras y objetos desde distintos planos o perspectivas:
es ver un mismo objeto desde diferentes lugares, por ej, si es una casa, viste desde arriba,desde abajo, perfil izquiero, cosas asi.... un ejercicio? agarrá un objeto que tengas cerca y andámoviendolo, en cualquier direccion pero de modo que vayas viendo diferentes caras de eseobjeto, eso es la identificacion de figuras y objetos desde distintos planos o perspectivas.

3-2.- *Reconocimiento de objetos que pasan de forma bidimensional o plana a tridimensional, yviceversa:
http://tecnologia-arquitectura.blogspot.es/1288885101/ 
esto fue lo unico que encontre.. es cualquier técnica capaz de recoger información visual tridimensional o de crear la ilusión de profundidad en una imagen. La estereoscopía es usada en fotogrametría y también para entretenimiento con la producción de estereogramas. La estereoscopía es útil para ver imágenes renderizadas de un conjunto de datos multidimensionales.
no me quedo del todo clara.. me imagino que estudias para ceneval verdad? jajaja, lo tengo el 19 de mayo y es hora que no encuentro estos temas del examen de seleccion pff.. espero que lo encuentres.
Podríamos definir perspectiva como la forma de representar objetos tridimensionales en una superficie plana, bidimensional, para recrear la profundidad y la posición.
Descripción: Clases de Perspectiva
Plano del Cuadro. (En los dibujos nos referiremos a ella con las siglas PC) Es la superficie física del elemento sobre el cual vas a dibujar o pintar, que no es más que el papel o lienzo sobre el que plasmamos el dibujo. Lo que Leonardo da Vinci llamo la ventana y León Batista Alberti (arquitecto S. XV) llamo el velo. (Ver Fig. 4).
Punto de vista. (En los dibujos nos referiremos a ella con las siglas PV) Es el punto desde donde miramos. Se halla situado en el mismo plano que la línea del horizonte y a la misma altura que el punto de fuga. (Ver Fig. 4).

 
Descripción: Elementos de un cuadro.
Línea de Tierra. (En los dibujos nos referiremos a ella con las siglas LT). Que es la línea imaginaria donde se apoya el modelo a reproducir. Por lo que la distancia entre la línea de tierra y el punto de fuga será igual a la que existe entre el suelo (Plano de Tierra) sobre el que estamos y nuestros ojos. (Ver Fig. 4).
Plano de Tierra. (En los dibujos nos referiremos a ella con las siglas PT) El plano de tierra es la superficie sobre la que nos asentamos tanto nosotros como el modelo objeto de nuestra observación. (Ver fig. 4).
Punto de fuga de diagonales.
(En los dibujos nos referiremos a este término con las siglas PFD).
Este es un punto de fuga adicional que se emplea para representar espacios y formas iguales que fugan al horizonte, como por ejemplo los palos de un tendido eléctrico, las columnas de un claustro, las baldosas de una sala.
Descripción: Fuga de diagonales
Para situar los puntos de fuga de las diagonales de forma precisa en la perspectiva paralela, seguiremos la siguiente norma: situaremos a partir del PF, los PFD1 y PFD2 a la distancia que separa el PV del PF. Valga como introducción el siguiente esquema que más adelante volveremos a incidir sobre el tema.

3.3-. *Identificación de resultado de modificaciones a objetos tridimensionales:

Mira, es algo dificil de encontrar en internet, son normalmente ejercicios que se utilizan propiamente en pedagogía, es super sencillo esto, supongamos que en una cuadricula tridimensional existen cubos ordenados en distintas maneras ya sea encimados, formando pilas o dejando huecos entre ellos, te presentaran una segunda cuadricula 3D y te preguntaran que: ¿cual es el resultado de colocar la 2da cuadricula en la 1era, y te presentaran 3 opciones posibles, escucha esto es mas que una respuesta es cuestión de razonar, y observar completamente bien lo que te plantean , atisba cada posible solucion, piesa tu respuesta si se puede 3 a 4 veces, en realidad este es el fin de esta parte del examen encontrar tu nivel de razonamiento y saber si eres apto o apta para tu admision.

3.4.-  Aplicación de operaciones con figuras contenidas en un espacio:
son variaciones de imagineros que pueden ser "contenidas de un espacio" es decir tiene un lugar en el planeta tierra como una "materia" algo que se puede sostener, agarrar, sentir, etc. esto quiere decir que son todo lo que podemos ver y las imaguenes con la que podemos jugar en la realidad y mentalidad, imaginemos.

4.- Interpretacion de códigos y símbolos

4.1.- Traducción, descifre, interpretación, deducción o completamiento de mensajes y códigos:

La traducción es una actividad que consiste en comprender el significado de un texto en un idioma, llamado texto origen o «texto de salida», para producir un texto con significado equivalente, en otro idioma, llamado texto traducido o «texto meta». El resultado de esta actividad, el texto traducido, también se denomina traducción.

 descifre: Interpretar un mensaje escrito en un lenguaje secreto compuesto por signos especiales: descifrar un código secreto.
 Interpretar el significado de una cosa confusa o un asunto difícil de entender.

 La interpretación es el hecho de que un contenido material, ya dado e independiente del intérprete, sea “comprendido” o “traducido” a una nueva forma de expresión. Dicho concepto está muy relacionado con la hermenéutica.

 En lógica, una deducción es un argumento donde la conclusión se infiere necesariamente de las premisas. En su definición formal, una deducción es una secuencia finita de fórmulas, de las cuales la última es designada como la conclusión (la conclusión de la deducción), y todas las fórmulas en la secuencia son, o bien axiomas, o bien premisas, o bien inferencias directas a partir de fórmulas previas en la secuencia por medio de reglas de inferencia.

 El código, en teoría de la comunicación, el conjunto que puede ser entendido por el emisor y el receptor. El código que se ha usado en este texto, por ejemplo, es la lengua española o el castellano.
 El código, en teoría de la Información, la forma que toma la información que se intercambia entre la «fuente» (el emisor) y el «destino» (el receptor) de un lazo informático.

5.- interferencias lógicas y silogicas

5.1 Planteamiento de conclusiones lógicas como resultado de relacionar entre sí enunciados detipo universal y particular:
A: Todos los perros son carnívoros

I: manchas es un perro----------------------------------------------------

I: manchas es carnívoro

regla de inferencia modus ponendo ponens

P implica Q . P subconjunt

5.2 Planteamiento de proposiciones o hiposesis simples o complejas con conectivos lógicos


PROPOSICIONES Y CONECTORES LÓGICOS


PROPOSICIONES.

Una proposición es un enunciado o una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. Una proposición es verificable, por ende, es un elemento fundamental de la lógica matemática y de la lógica digital.

A continuación se tienen algunos ejemplos de enunciados que son proposiciones y algunos que no lo son, se explica el porqué algunos de estos enunciados no son, como tal, proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha. Por ejemplo.

p: La tierra es plana.

q: -12 + 28 = 21

r: x > y + 1

s: Talleres será campeón en la presente temporada de Fútbol Argentino.

t: Hola ¿Qué tal?

v: Resistencia es la capital del Chaco

w: Lava el coche, por favor.

 Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo tanto son proposiciones validas. El inciso r también es una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor asignado a las variables x y y en determinado momento y v es una proposición verdadera. La proposición del inciso s también esta perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que esperar a que terminara la temporada de fútbol. Sin embargo los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.




CONECTORES LÓGICOS Y PROPOSICIONES COMPUESTAS.

Las proposiciones anteriores son todas, proposiciones simples. Para obtener proposiciones compuestas se deben ligar o combinar más de una proposición simple. Existen conectores u operadores lógicos que permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones simples). Los operadores o conectores básicos son: y, o, no, no o, no y, o exclusiva, no o exclusiva
 

2.1    Operador and (y) - Operación Conjunción

Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir(ser verdaderas) para que se pueda obtener un resultado verdadero. Su símbolo es: {Ù , un punto (.), un paréntesis, o también, Ç }. Se le conoce como la multiplicación lógica(en la matemática booleana):

Algunos ejemplos son:

1. La proposición "El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería" está formada por dos proposiciones simples: q y r

q: Tiene gasolina el tanque.

r: Tiene corriente la batería.

Con p: El coche enciende.

De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica es como sigue:

p = q Ù r

Su tabla de verdad es como sigue:
.q        
.r         
.p = q Ù r

1         
1         
1

1         
0         
0

0         
1         
0

0         
0         
0


  Donde:    1 = verdadero 0 = falso

En la tabla anterior el valor de q = 1 significa que el tanque tiene gasolina, r = 1 significa que la batería tiene corriente y p = q Ù r = 1 significa que el coche puede encender. Se puede notar que si q o r valen cero implica que el auto no tiene gasolina o no tiene corriente la batería y que, por lo tanto, el carro no puede encender.



2.  La ciudad x está en Francia y es su capital es una proposición compuesta por las proposiciones simples:

p: La ciudad x está en Francia. Qué es verdadera solo para todas las ciudades x que estén en Francia de lo contrario será falsa y,

r: La ciudad x es capital de Francia. Qué es verdadera solo si x es Paris de lo contrario será falsa

Con ello la proposición compuesta q: p  Ù r será verdadera solo si x es Paris, de lo contrario será falsa, como lo muestra la tabal correspondiente.
.p        
.r         
.q = p Ù r

1         
1         
1

1         
0         
0

0         
1         
0

0         
0         
0


El operador y en la teoría de conjuntos equivale a la operación de intersección, por ello se le puede representar como lo muestra la figura No 1:



Figura No 1.    p Ù r

También tiene representación circuital con interruptores ,como aparece en la figura 2. Si los dos interruptores están cerrados(indicando verdadero o "1" lógico) la lámpara se enciende de lo contrario no.





Figura No 2 Circuito con interruptores que representa la función lógica Conjunción(AND) p Ù r




Operador Or (o) – Operación Disyunción

Con este operador se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las proposiciones es verdadera. Se indica por medio de los siguientes símbolos: {Ú ,+,È  }. Se conoce como las suma lógica en el Álgebra Booleana. En términos literales se comporta como y/o. Por ejemplo:

1. Sea el siguiente enunciado "Una persona puede entrar al cine si compra su boleto u obtiene un pase". Donde.

p: Entra al cine.

q: Compra su boleto.

r: Obtiene un pase.

 La proposición compuesta es p: q v r y la tabla de verdad representativa es:

 
.q        
.r         
.p: q Ú r

1         
1         
1

1         
0         
1

0         
1         
1

0         
0         
0




La única manera en la que no puede ingresar al cine (p = 0), es que no compre su boleto (q = 0) y que, además, no obtenga un pase (r = 0).

2.  Con la proposición

m: Iré al estadio si juega Santa fé o me invitan

Compuesta por las proposiciones:

p: Juega Santa Fé

q: Me invitan al estadio

Se obtiene la proposición compuesta cuya notación es:

.m: p v q

La tabla de verdad correspondiente es:
.p        
.q        
.m: p Ú q

1         
1         
1

1         
0         
1

0         
1         
1

0         
0         
0


En cualquier caso la operación OR o la disyunción se asimila a la operación Unión entre conjuntos, por ello en diagrama de Venn se representa, así:



Figura No 3. Diagrama de Venn de una Disyunción p n q

Y en circuito de conmutación, así:



Figura No 4. Representación circuital de una disyunción (OR) p v q

de tal suerte que es suficiente con que uno de los dos interruptores este cerrado para obtener un "1" lógico, es decir, que la lámpara encienda.




Operador Not (no) – Operación negación

Su función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna proposición es verdadera y se le aplica el operador not se obtendrá su complemento o negación (falso). Este operador se indica por medio de los siguientes símbolos: {‘, Ø ,- }. Por Ejemplo.


Teniendo la proposición :

p: La capital de Francia es Paris (p = 1),

su negación será :

p’: no es la capital de Francia Paris(p’= 0)

    2.  Para p: 2x4 = 6 (p = 0)

p’: 2x4 ≠ 6 (p’ = 1)

  
.p        
p’

1         
0

0         
1




Con 1 verdadero y 0 falso.

También, tiene expresión en la teoría de conjuntos y es el denominado complemento, cuyo diagrama de Venn es:





Figura No 5. Diagrama de Venn Operador not - Negación



En términos de circuito su representación será, como aparece en la figura No 6, Cuando se cierra p ("1" lógico) el led se apaga (falso o "0" lógico) y si p se abre ("0" lógico) el led se enciende (verdadero o "1" lógico).



Figura No 6. Representación circuital de una negación (NOT) p’



3.  La O exclusiva (Disyunción exclusiva)

Es el operador que conecta dos proposiciones en el sentido estricto de la "o" literal, o es blanco o es negro; es o no es.

El operador se denomina XOR, cuyo funcionamiento es semejante al operador or con la diferencia en que su resultado es verdadero solamente si una de las proposiciones es cierta, cuando ambas son verdaderas el resultado es falso, igual si las dos son falsas. Se nota como Å . Algunos ejemplos son:

1. r: Antonio canta o silva

La proposición está compuesta por las proposiciones

p: Antonio Canta

y, q: Antonio silva

Su notación es:    p: r Å q

Y su tabla de verdad será:
.p        
.q        
.r = p Å q

1         
1         
0

1         
0         
1

0         
1         
1

0         
0         
0


La XOR o disyunción exclusiva se asimila a la operación Unión exclusiva entre conjuntos, por ello en diagrama de Venn se representa, así:



.p Å q

Figura No 7. Diagrama de Venn de una Disyunción exclusiva (XOR)

Y en circuito de conmutación, así:





Figura No 8. Representación circuital de una disyunción exclusiva XOR p Å q

El led será encendido si los interruptores están en posiciones contrarias de cualquier otra forma se conservara apagado("o" lógico)

4.  Combinaciones con negacion.

Con ayuda de estos operadores básicos se pueden formar los operadores compuestos Nand (combinación de los operadores Not y And), Nor (combina operadores Not y Or) y Xnor (resultado de Xor y Not).

Se hará un recorrido muy somero por cada uno de ellos. Se recomienda acudir a la bibliografía respectiva para precisar mejor los conceptos.

1.  Operador NAND – Conjunción negada

Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir(ser verdaderas) para que se pueda obtener un resultado falso, en cualquier otro caso la proposición compuesta es verdadera. Su símbolo es: {(Ù )’, (.)’, (Ç )’}.

De tal manera que la representación de una proposición queda como sigue:

p = (q Ù r)’

Cuya tabla de verdad es complemente contraria a la conjunción:
.q        
.r         
p = (q Ù r)’

1         
1         
0

1         
0         
1

0         
1         
1

0         
0         
1


 Donde: 1 = verdadero 0 = falso

El operador "y negado", en la teoría de conjuntos equivale a la operación de intersección complementada, por ello se le puede representar en diagrama de Venn como lo muestra la figura No 8:





Figura No 8. (q Ù r)’

El conector NAND también tiene representación circuital con interruptores, como aparece en la figura 9.

Si los dos interruptores están cerrados(indicando verdadero o "1" lógico) el led se apaga ("0" lógico) de lo contrario está encendida ("1" lógico). Su comportamiento es completamente contrario a la conjunción.



Figura No 9. Circuito con interruptores que representa la función lógica Conjunción(NAND) (q Ù r)’



2.  Operador NOR – Disyunción negada

Es el Inverso de la disyunción, por ello, se obtiene con este operador un resultado verdadero en el único caso que se obtenía falso en la disyunción, es decir, cuando las proposiciones son falsas. En cualquier otro caso da un resultado falso. Se e indica por medio de los siguientes símbolos: {(Ú )’, (+)’, (È )’}. Se conoce como las suma lógica inversa en el Álgebra Booleana.

La proposición compuesta es

r: (p Ú q)’

y la tabla de verdad representativa es:

 
.p        
.q        
.r = (p Ú q)’

1         
1         
0

1         
0         
0

0         
1         
0

0         
0         
1


En cualquier caso la operación NOR o la disyunción negada se asimila a la operación Unión entre conjuntos, pero, complementada; por ello en diagrama de Venn se representa como en la figura No 10, donde se considera como resultado todo lo que en la disyunción no lo era, así:



Figura No 10. Diagrama de Venn de una Disyunción negada

El circuito de conmutación queda como en la figura No 11.

La única forma en que se ACTIVE el led("1" lógico), es que ninguno de los interruptores se cierre("1" lógico) el led se conservará APAGADO("0" lógico.



Figura No 26. Representación circuital de una disyunción negada (NOR) (p v q)’



 3.  Operador XNOR – Disyunción exclusiva negada

Es el operador que niega al conector O exclusivo , así , que tan solo es verdadera la proposición compuesta sí, o, bien, las dos son verdaderas o las dos son falsas(más adelante veremos que también se denomina  equivalencia).

El operador se denomina XNOR, Se nota como , algunos también lo notan como (Å )’.

La tabla de verdad será:
.p        
.q        
.r = p  q

1         
1         
1

1         
0         
0

0         
1         
0

0         
0         
1


La XNOR o disyunción exclusiva se asimila a la operación Unión exclusiva pero complementada, por ello el diagrama de Venn se representa, así:



Figura No 11. Diagrama de Venn de una Disyunción exclusiva (XNOR)

Y en circuito de conmutación, así:



Figura No 12. Representación circuital de una disyunción exclusiva XNOR p  q

De manera que los dos interruptores en "1", o, los dos en "0" originan un estado encendido "1" en el led; de lo contrario se conservara apagado "0".

 4.  Otros Conectores y operaciones lógicas


Proposiciones condicionales.

Una proposición condicional, es aquella que está formada por dos proposiciones simples (o compuesta) p y q. La cual se indica de la siguiente manera:

.p ® q                   Se lee "Si p, entonces, q"

  Ejemplo.

El candidato administrativo dice "Si salgo electo Gobernador, recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año". Una declaración como esta se conoce como condicional. Su tabla de verdad es la siguiente:

Sean

p: Salgo electo Gobernador.

q: Recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año.

 De tal manera que el enunciado se puede expresar de las siguiente manera.

  p ® q

 Su tabla de verdad queda de la siguiente manera:
.p        
.q        
.p ® q

1         
1         
1

1         
0         
0

0         
1         
1

0         
0         
1


La interpretación de los resultados de la tabla es la siguiente:

Considere que se desea analizar si el candidato a Gobernador mintió con la afirmación del enunciado anterior.

Cuando:

p = 1; significa que salió electo,

q = 1 recibieron un aumento del 50% en su sueldo,

por lo tanto p ® q = 1;

significa que el candidato dijo la verdad en su campaña.

Cuando

p = 1 y q = 0 significa que p ® q = 0; el candidato mintió, ya que salió electo y no se incrementaron los salarios.

Cuando

p = 0 y q = 1 significa que aunque no salió electo hubo un aumento del 50% en su salario, que posiblemente fue ajeno al candidato a Gobernador, y por lo tanto; tampoco mintió de tal forma que la proposición p ® q = 1.

 Cuando

p = 0 y q = 0 significa que aunque no salió electo, tampoco se dio un aumento del 50% en su salario, que posiblemente fue ajeno al candidato al CSU y por lo tanto; tampoco mintió de tal forma que la proposición p ® q = 1.

 2.  Proposición bicondicional.

 Sean p y q dos proposiciones entonces se puede indicar la proposición bicondicional de la siguiente manera:

.p « q Se lee "p, si solo si, q"

  Esto significa que p es verdadera si y solo si q es también verdadera. O bien p es falsa si y solo si q también lo es. Por Ejemplo; el enunciado siguiente es una proposición bicondicional

  "Es buen estudiante, si y solo si; tiene promedio de cinco"

Donde:

p: Es buen estudiante.

q: Tiene promedio de cinco.

  por lo tanto su tabla de verdad es.
p         
.q        
.p « q

1         
1         
1

1         
0         
0

0         
1         
0

0         
0         
1


 La proposición condicional solamente es verdadera si tanto p como q son falsas o bien ambas verdaderas. Es la misma Disyunción exclusiva inversa o negada (XNOR),

 



LAS TABLAS DE VERDAD
 


USO TABLAS DE VERDAD

Desde ya, se está en condiciones de representar cualquier enunciado con conectores lógicos y más aún, establecer la veracidad de tal proposición.

Ejemplo.

1. Sean las proposiciones:

 p: Hoy es domingo.

q: Tengo que estudiar circuitos digitales.

r: Aprobaré el curso.
.q        
.r         
.p = q Ù r

1         
1         
1

1         
0         
0

0         
1         
0

0         
0         
0

.q        
.r         
.p = q Ú r

1         
1         
1

1         
0         
1

0         
1         
1

0         
0         
0

.q        
.r         
.p = q Å r

1         
1         
0

1         
0         
1

0         
1         
1

0         
0         
0

.q        
.r         
p = (q Ù r)’

1         
1         
0

1         
0         
1

0         
1         
1

0         
0         
1

.q        
.r         
p = (q Ú r)’

1         
1         
0

1         
0         
0

0         
1         
0

0         
0         
1

.q        
.r         
p = q  r

1         
1         
1

1         
0         
0

0         
1         
0

0         
0         
1

.p        
.q        
p ® q

1         
1         
1

1         
0         
0

0         
1         
1

0         
0         
1




Figura No 13. Tablas de verdad de los conectores lógicos básico

El enunciado: "Hoy es domingo y tengo que estudiar circuitos digitales o no aprobaré el curso". Se puede representar simbólicamente de la siguiente manera:

 (p Ù q) Ú r ’

De tal proposición, puedo hallar su valor de verdad.

Antes de hacerlo, se presenta un resumen de las tablas de verdad en la figura No 13.

 El número de líneas de la tabla de verdad depende del número de variables de la expresión y se puede calcular por medio de la siguiente formula.

No de líneas = 2n Donde n = número de variables distintas.

Por ser tres proposiciones (variables) p, q y r. La tabla tendrá ocho posibilidades para combinar la condición de verdad de cada una ya que 23 = 8. Con ayuda de la tabla de la figura 29. la tabla del presente ejemplo queda así:
.p        
.q        
.r         
.r’       
.p Ù q 
(p Ù q )Ú r’

0         
0         
0         
1         
0         
1

0         
0         
1         
0         
0         
0

0         
1         
0         
1         
0         
1

0         
1         
1         
0         
0         
0

1         
0         
0         
1         
0         
1

1         
0         
1         
0         
0         
0

1         
1         
0         
1         
1         
1

1         
1         
1         
0         
1         
1



Debe observarse, que el operador Conjunción se desarrolla primero que el operador disyunción por la jerarquía de los operadores planteada en la sección 2.2.4.1.

Para que la proposición compuesta sea verdadera se requiere que r sea falsa, no importando p ni q. También, en el caso en que p, q y r sean verdaderas. En todos los demás casos la expresión es falsa.


Del enunciado, hallar la condición de verdad:

" Si tengo dinero, entonces, pagaré el semestre; o, no pago el semestre y voy a Europa. Si y solo sí, si voy a Europa, entonces, tengo dinero

Esta compuesto por tres proposiciones que son:

.p: Tengo dinero

.q: Pagaré el semestre

.r: Iré a Europa

La notación correspondiente es:

.z: [(p® q)Ú (q’Ù r)] « (r® p)

La tabla de verdad que representa está proposición dando cuenta de su veracidad es la que se presenta a continuación, como se puede observar hasta no resolver el paréntesis cuadrado, no se puede hacer la doble implicación. Primero se desarrollan los dos paréntesis redondos por estar dentro del paréntesis cuadrado y posteriormente se resuelve la disyunción. Simultáneamente se ha podido resolver la implicación, o se puede hacer luego. Resuelto todo esto ahora, si se procede a encontrar el valor de la bicondicional:
.p        
.q        
.r         
.q’       
.p® q  
(q’Ù r)            
(p® q)Ú (q’Ù r)         
r® p    
[(p® q)Ú (q’Ù r)] « (r® p)

0         
0         
0         
1         
1         
0         
1         
1         
1

0         
0         
1         
1         
1         
1         
1         
0         
0

0         
1         
0         
0         
1         
0         
1         
1         
1

0         
1         
1         
0         
1         
0         
1         
0         
0

1         
0         
0         
1         
0         
0         
0         
1         
0

1         
0         
1         
1         
0         
1         
1         
1         
1

1         
1         
0         
0         
1         
0         
1         
1         
1

1         
1         
1         
0         
1         
0         
1         
1         
1


3. Sea el siguiente enunciado "Si no pago la luz, entonces me cortarán la energía eléctrica. Y Si pago la luz, entonces me quedaré sin dinero o pediré prestado. Y si me quedo sin dinero y pido prestado, entonces no podré pagar la deuda, si solo si soy desorganizado"

Donde la proposición está compuesta de las proposiciones simples:

p: Pago la luz.

q: Me cortarán la energía eléctrica.

r: Me quedaré sin dinero.

s: Pediré prestado.

t: Pagar la deuda.

w: soy desorganizado.

Siendo la notación:

.z: (p’ ® q) Ù [ p ® (r Ú s) ] Ù [ (r Ù s) ® t’ ] « w

De tal proposición, puedo hallar su valor de verdad haciendo uso de las tablas de verdad, resultarán 26 = 64 posibles combinaciones. Quedará como ejercicio del lector.


TAUTOLOGÍAS, CONTRADICCIONES Y EQUIVALENCIAS LÓGICAS

2.2.2.1. Tautología.

Tautología, es aquella proposición (compuesta) que es cierta para todos los valores de verdad de sus variables. Un ejemplo típico es la contrapositiva cuya tabla de verdad se indica a continuación.
.p        
.q        
.p’       
.q’       
p® q   
q’® p’            
(p® q)« (q’® p’)

0         
0         
1         
1         
1         
1         
1

0         
1         
1         
0         
1         
1         
1

1         
0         
0         
1         
0         
0         
1

1         
1         
0         
0         
1         
1         
1


Nótese que en las tautologías para todos los valores de verdad el resultado de la proposición es siempre 1. Las tautologías son muy importantes en lógica matemática ya que se consideran leyes en las cuales es posible apoyarse para realizar demostraciones.

2.2.2.2. Equivalencia lógica.

Se dice que dos proposiciones son lógicamente equivalentes, o simplemente equivalentes. Si coinciden sus resultados para los mismo valores de verdad. Se indican como p º q.

Un buen ejemplo es el que se estableció para ilustrar la tautología en donde se puede observar que las columnas de (p® q) y (q’® p’) para los mismo valores de verdad, por lo tanto se puede establecer que (p® q) º (q’® p’)

A continuación se citan una lista de las tautologías y equivalencias más conocidas de la lógica proposicional, que se identifican como leyes del álgebra proposicional. En la unidad correspondiente al álgebra de Boole se verá que los mismos se conocen como los teoremas y postulados básicos del álgebra de Boole.

  1.- Doble negación.

a). .(p')' º p

2.- Leyes conmutativas.

a). (p Ú q) º (q Ú p)

b). (p Ù q) º (q Ù p)

3.- Leyes asociativas.

a). [(p Ú q) Ú r] º [p Ú (q Ú r)]

b. [(pÙ q) Ù r] º [pÙ (qÙ r)]

  4.- Leyes distributivas.

a). [p Ú (qÙ r)] º [(p Ú q)  Ù (p Ú r)]

b). [p Ù (q Ú r)]  º [(pÙ q) Ú (pÙ r)]

  5.- Leyes de idempotencia.

a). (p Ú p) º p

b). (p Ù p) º p

  6.- Leyes de Morgan

a). (p Ú q)' º (p'  Ù q')

b). (p Ù q)' º (p'  Ú q')

c). (p Ú q) º (p'  Ù q')'

d). (pÙ q) º (p' Ú q')'

  7.- Contrapositiva.

a). (p® q) º (q’® p' )

  8.- Implicación.

a). (p® q) º (p' Ú q)

b). (p® q) º (p Ù q')'

c). (p Ú q) º (p'® q)

d). (p Ù q) º (p ® q')'

e). [(p® r) Ù (q® r)] º [(p  Ú q) ® r]

f). [(p® q) Ù (p® r)] º [p® (q Ù r)]

  9.- Equivalencia

a). (p« q) º [(p® q) Ù (q® p)]

  10.- Ley de identidad

a). (p Ú f) º p

b). (p Ú t) º t

c). (q Ù t) º q

d). (q Ù f) º f

  11.- Ley de Complementos

a). (p Ú p’) º t

b). (p Ù p’) º f

c). .t ’ º f

d). .f ‘ º t

Estas leyes son demostrables aplicando las tablas de verdad, se desarrollan a continuación algunos casos, que el lector deberá verificar:

1.- Doble negación.

a). (p')' º p
.p        
p’        
(p’)’

0         
1         
0

1         
0         
1


Equivalencia demostrada

2.- Leyes conmutativas.

a). (p Ú q) º (q Ú p)

.p        
.q        
(p Ú q)           
(q Ú p)

0         
0         
0         
0

0         
1         
1         
1

1         
0         
1         
1

1         
1         
1         
1


Equivalencia demostrada

b). (p Ù q) º (q Ù p)

.p        
.q        
(p Ù q)           
(q Ù p)

0         
0         
0         
0

0         
1         
0         
0

1         
0         
0         
0

1         
1         
1         
1


Se demuestra que la equivalencia es correcta.

3.- Leyes asociativas.

a). [(p Ú q) Ú r] º [p Ú (q Ú r)]
.p        
.q        
.r         
(p Ú q)           
(p Ú q)  Ú r    
(q Ú r)             [p Ú (q Ú r)]

0         
0         
0         
0         
0         
0         
0

0         
0         
1         
0         
1         
1         
1

0         
1         
0         
1         
1         
1         
1

0         
1         
1         
1         
1         
1         
1

1         
0         
0         
1         
1         
0         
1

1         
0         
1         
1         
1         
1         
1

1         
1         
0         
1         
1         
1         
1

1         
1         
1         
1         
1         
1         
1


Se demuestra que la equivalencia es correcta.
[(pÙ q) Ù r] º [pÙ (qÙ r)]
.p        
.q        
.r         
(p Ù q)           
(p Ù q)  Ù r    
(q Ù r)             [p Ù (q Ù r)]

0         
0         
0         
0         
0         
0         
0

0         
0         
1         
0         
0         
0         
0

0         
1         
0         
0         
0         
0         
0

0         
1         
1         
0         
0         
1         
0

1         
0         
0         
0         
0         
0         
0

1         
0         
1         
0         
0         
0         
0

1         
1         
0         
1         
0         
0         
0

1         
1         
1         
1         
1         
1         
1


Se demuestra que la equivalencia es correcta.

  4.- Leyes distributivas.

a). [p Ú (qÙ r)] º [(p Ú q)  Ù (p Ú r)]
.p        
.q        
r          
(q Ù r)            
.p Ú (q Ù r)    
(p Ú q)
(p Ú r)             [(p Ú q) Ù (p Ú r)]

0         
0         
0         
0         
0         
0         
0         
0

0         
0         
1         
0         
0         
0         
1         
0

0         
1         
0         
0         
0         
1         
0         
0

0         
1         
1         
1         
1         
1         
1         
1

1         
0         
0         
0         
1         
1         
1         
1

1         
0         
1         
0         
1         
1         
1         
1

1         
1         
0         
0         
1         
1         
1         
1

1         
1         
1         
1         
1         
1         
1         
1


Se demuestra que la equivalencia es correcta.

b). [p Ù (q Ú r)]  º [(pÙ q) Ú (pÙ r)]
.p        
.q        
.r         
(q Ú r)            
.p Ù (q Ú r)    
(p Ù q)
(p Ù r)             [(p Ù q) Ú (p Ù r)]

0         
0         
0         
0         
0         
0         
0         
0

0         
0         
1         
1         
0         
0         
0         
0

0         
1         
0         
1         
0         
0         
0         
0

0         
1         
1         
1         
0         
0         
0         
0

1         
0         
0         
0         
0         
0         
0         
0

1         
0         
1         
1         
1         
0         
1         
1

1         
1         
0         
1         
1         
1         
0         
1

1         
1         
1         
1         
1         
1         
1         
1


Se demuestra que la equivalencia es correcta.

  5.- Leyes de idempotencia.

a). (p Ú p) º p
.p        
(pÚ p)

0         
0

1         
1


Se demuestra que la equivalencia es correcta

b). (p Ù p) º p
.p        
(pÚ p)

0         
0

1         
1


Se demuestra que la equivalencia es correcta


   6.- Leyes de Morgan

a). (p Ú q)' º (p' Ù q')
.p        
.q        
.p Ú q
(p Ú q)’          
.p’       
.q’       
(p’ Ù q)

0         
0         
0         
1         
1         
1         
1

0         
1         
1         
0         
1         
0         
0

1         
0         
1         
0         
0         
1         
0

1         
1         
1         
0         
0         
0         
0


Se demuestra que la equivalencia es correcta.

b). (p Ù q)' º (p' Ú q')

.p        
.q        
p Ù q  
(p Ù q)’          
.p’       
.q’       
(p’ Ú q)

0         
0         
0         
1         
1         
1         
1

0         
1         
0         
1         
1         
0         
1

1         
0         
0         
1         
0         
1         
1

1         
1         
1         
0         
0         
0         
0


Se demuestra que la equivalencia es correcta.

c). (p Ú q) º (p' Ù q')'

..p       
.q        
.(p Ú q)          
.p’       
.q’       
(p' Ù q')          
(p’ Ù q’)’

0         
0         
0         
1         
1         
1         
0

0         
1         
1         
1         
0         
0         
1

1         
0         
1         
0         
1         
0         
1

1         
1         
1         
0         
0         
0         
1


Se demuestra que la equivalencia es correcta.

d). (pÙ q) º (p' Ú q')'

.p        
.q        
.(p Ù q)          
.p’       
.q’       
(p' Ú q')          
(p’ Ú q’)’

0         
0         
0         
1         
1         
1         
0

0         
1         
0         
1         
0         
1         
0

1         
0         
0         
0         
1         
1         
0

1         
1         
1         
0         
0         
0         
1




Se demuestra que la equivalencia es correcta.


Contradicción

Una contradicción es aquella proposición que siempre es falsa para todos los valores de verdad, una de las mas usadas y mas sencilla es pÙ p’ . Como lo muestra su correspondiente tabla de verdad.
p         
.p’       
pÙ p’

0         
1         
0

1         
0         
0


Si en el ejemplo anterior

p: La puerta es verde.

La proposición pÙ p’ equivale a decir que "La puerta es verde y la puerta no es verde".

2.2.2.4. Contingente

Una proposición compuesta cuyos resultados en sus diferentes líneas de la tabla de verdad, dan como resultado 1s y 0s se le llama  contingente. Es decir, contingente es aquella proposición que en algún momento es falsa; necesaria es la proposición verdadera en todo momento, e imposible la proposición falsa en todo momento . Lo anterior quiere decir que una Tautología no es una proposición contingente, pero tampoco lo es una contradicción. Posteriormente se precisará cuando existe una falacia.
CONDICIONAL, RECIPROCA, INVERSA Y CONTRARECIPROCA

Haciendo uso de las tablas de verdad es posible a partir de las proposiciones condicionales, obtener su reciproco, su inversa y su contrareciproco.

2.2.3.1. Condicional. Es la mencionada en el literal 2.1.2.6.1. recuérdese que se nota:

p ® q

y se lee:   "Si p, entonces, q", o, también " p implica q" o incluso "p si solo q".

Un ejemplo puede ser:

teniendo las proposiciones:

p: Marcos estudia y q: Marcos pasará el examen

la condicional será:

Si Marcos estudia, entonces, pasará el examen. O también es válido:

Marcos Estudia,  implica que pasara el examen.

Y también puede ser:

Marcos estudia solo si pasa el examen.

En cualquier caso su notación será: p  ® q

 2.  Reciproca. Es la proposición compuesta en las que se da la condición de implicación pero con las proposiciones en orden inverso: Se nota: q® p

Continuando con el ejemplo anterior ejemplo con las dos mismas proposiciones la proposición reciproca será:

Si Marcos pasa el examen, entonces, estudia.

O también es válido:

Marcos pasa el examen, implica que estudia.

Y también puede ser:

Marcos pasa el examen solo si estudia .

3.  Inversa. Es la proposición compuesta por la negación individual de las dos proposiciones que se relaciona a través de la condicional. Se nota: p’ ® q’

Continuando con el ejemplo anterior ejemplo con las dos mismas proposiciones la proposición inversa a la condicional original es:

Si Marcos NO estudia, entonces, NO pasará el examen.

O también es válido:

Marcos NO estudia Implica NO pasar el examen.

Y también puede ser:

Marcos NO estudia solo si NO pasa el examen.

4.  Contra recíproca. Es la reciproca de la inversa condicional. Se nota: q’ ® p’.

Siguiendo con el ejemplo:

Si Marcos NO pasa el examen, entonces, NO estudia. O también es válido:

Marcos NO pasa el examen Implica NO estudiar. Y también puede ser:

Marcos NO pasa el examen solo si NO estudia .

La tabla representativa de las cuatro proposiciones es:
.p        
-q       
Condicional

(p® q)
Recíproca

(q® p)
Inversa

(p’® q’)          
Contrarecíproca (q’® p’)

0         
0         
1         
1         
1         
1

0         
1         
1         
0         
0         
1

1         
0         
0         
1         
1         
0

1         
1         
1         
1         
1         
1


Como se puede observar condicional y contrarecíproca son equivalencias lógicas, de igual manera recíproca e inversa, también lo son. Es decir:

(p® q) º (q’® p’), es la equivalencia 7 (contrapositiva)

(q® p) º (p’® q’), es la misma aplicación
 


SIMPLIFICACIÓN DE PROPOSICIONES Y JERARQUÍA DE OPERADORES

Jerarquía de operadores

Cuando se requiere manipular con tablas de verdad o con las leyes proposicionales complejas, es necesario manejar una jerarquia de operadores. Tal jerarquía es la del álgebra tradicional.

Orden : Corchete, Paréntesis Cuadrado, Paréntesis redondo, negación, conjunción, disyunción. La negación se ejecuta cuando aparezca, igual la condicional y la bicondicional, por lo general se ejecutan en proposiciones incluidas en algún tipo de paréntesis.

Ejemplos:

1. .En la proposición p Ù q Ú r primero se desarrolla la proposición compuesta que integra el operador Ù , es decir, p Ù q, y después su resultado se resuelve con el operador Ú resolviendo p Ù q Ú r, Así, que es lo mismo que: (p Ù q) Ú r

2. En la proposición p  Ù (q Ú r)  Ù p’ Ù q Ú r, la mayor jerarquía la tiene el paréntesis, luego es lo primero que se desarrolla, después la negación de p. Desarrollado (q Ú r) y p’ quedan por desarrollar tres conjunciones y una disyunción. Como las conjunciones son de mayor jerarquía son las que se deben resolver, ahora. Una vez terminadas, se desarrolla la disyunción.

Primero     (q Ú r)

Segundo      p’

Tercero     p Ù (q Ú r) Ù p’ Ù q

Y Cuarto      [p Ù (q Ú r) Ù p’ Ù q] Ú r

3. En la proposición p  Ù q Ú [( r  Ù p)’ Ù q  Ú r], Tiene prelación el paréntesis cuadrado [( r Ù p)’ Ù q Ú r] , hasta tanto no se resuelva lo que esta abarcado por él, no se puede continuar. Dentro hay un paréntesis redondo, una negación, dos conjunciones y una disyunción; se debe entonces resolver el paréntesis que involucra una conjunción; ahora se procede a negar y quedan por resolver del paréntesis cuadrado una disyunción y una conjunción. Se resuelve la conjunción y luego la disyunción. Con ello se termina el paréntesis cuadrado. Quedan una disyunción y una conjunción. Como ya se sabe va primero la conjunción para terminar con la disyunción.

Primero    (r Ù p)

Segundo    (r Ù p)’

Tercero    (r Ù p)’ Ù q

Cuarto    [(r Ù p)’ Ù q Ú r]

Quinto    p Ù q

Y sexto    (p Ù q) Ú [(r Ù p)’ Ù q Ú r]

4. En la proposición p  Ù {q Ú [( r Ù p)’ Ù q Ú r] } el orden resumido es:

Primero    (r Ù p)

Segundo    (r Ù p)’

Tercero    (r Ù p)’ Ù q

Cuarto    [(r Ù p)’ Ù q Ú r]

Quinto    {q Ú [( r Ù p)’ Ù q Ú r] } Terminando el corchete

Y sexto     p Ù {q Ú [(r Ù p)’ Ù q Ú r]}



5. En la proposición p  ® {q Ú [( r Ù p)’ « q Ú r] } el orden resumido es:

Primero     (r Ù p)

Segundo     (r Ù p)’

Tercero     (r Ù p)’ « q

Cuarto     [(r Ù p)’ « q Ú r]

Quinto      {q Ú [( r Ù p)’ « q Ú r] } Terminando el corchete

Y sexto     p ® {q Ú [(r Ù p)’ « q Ú r]}




Reducción de Proposiciones con las equivalencias fundamentales

Aplicando las once equivalencias es posible hacer que proposiciones relativamente largas se puedan convertir en proposiciones más cortas y compactas. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplos


Hallar la expresión simplificada para p’Ù q v pÙ q

Solución:

Ley distributiva(4b) con q como elemento común:  p’Ù q v pÙ q º q Ù ( p’ v p)

Ley de complementos (11a): p’Ù q v pÙ q º q Ù t

Ley de identidad (10c) p’Ù q v pÙ q º q



Hallar la expresión simplificada para p’Ù q v pÙ q v pÙ q’

Solución:

Ley asociativa(3 a): p’Ù q v pÙ q v pÙ q ’º (p’Ù q v pÙ q) v pÙ q ’

Ley distributiva(4b) con q como elemento común:  p’Ù q v pÙ q v pÙ q’ º [q Ù ( p’ v p)] v pÙ q’

Ley de complementos (11a): p’Ù q v pÙ q v pÙ q’ º (q Ù t) v pÙ q’

Ley de identidad (10c) p’Ù q v pÙ q v pÙ q’ º q v pÙ q’

Ley distributiva(4 a) con q como elemento común: p’Ù q v pÙ q v pÙ q’ º (q v p) Ù (q v q’)

Ley de complementos(11 a): p’Ù q v pÙ q v pÙ q’ º (q v p) Ù t

Ley de identidad(10c): p’Ù q v pÙ q v pÙ q’ º (q v p)




Hallar la expresión simplificada para (p’Ù q v p)Ù (q v p)Ù q’

Solución:

Ley conmutativa(2 a): (p´Ù q v p)Ù (q v p)Ù q’º (p vp’Ù q)Ù (q v p)Ù q’

Ley distributiva(4 a): (p’Ù qvp)Ù (q v p)Ù q’º (pvp’)Ù (pvq)Ù (qvp)Ù q’

Ley de complementos(11 a): (p’Ù q v p)Ù (q v p)Ù q’º t Ù (p v q)Ù (q v p)Ù q’

Ley de identidad(10c): (p’ Ù q v p)Ù (q v p)Ù q’º (p v q)Ù (q v p)Ù q’

Ley conmutativa( 2b): (p’ Ù q v p)Ù (q v p)Ù q’º (p v q)Ù (p v q)Ù q’

Ley de idempotencia( 5b): (p’ Ù q v p)Ù (q v p)Ù q’º (p v q)Ù q’

Ley conmutativa (2b): (p’ Ù q v p)Ù (q v p)Ù q’º q’ Ù (p v q)

Ley distributiva (4b): (p’ Ù q v p)Ù (q v p)Ù q’º (q’ Ù p) v (q’ Ù q)

Ley de complementos (11b) (p Ù q v p)Ù (q v p)Ù q’º (q’ Ù p) v f)

Ley de identidad(10 a): (p Ù q v p)Ù (q v p)Ù q’º (q’ Ù p)



2.3. ARGUMENTOS Y LEYES DE INFERENCIA



ARGUMENTOS

Un argumento es una relación entre un conjunto de proposiciones p1, p2, p3,..,pn, llamadas premisas, y otra proposición q, llamada conclusión, se denota como:

p1, p2, p3,..,pn q

Un argumento es válido o no. De serlo se convierte en implicación lógica. De no lograr validez se llama falacia.

Argumento válido

La premisa se asocia con conjunciones, así: p1, p2, p3,..,pn. º p1 Ù p2 Ù p3 Ù .. Ù pn

El operador se asocia a la implicación.

Así pues una aproximación en el lenguaje común de un argumento sería: "Si p1 Ù p2 Ù p3 Ù .. Ù pn entonces q"

Por lo anterior se dice que un argumento es valido cuando la premisa es verdadera haciendo verdadera la conclusión.

Ejemplo:

Averiguar si el siguiente argumento es válido

(p® q), (q’® p’) (p® q)

Se debe establecer la tabla de verdad de la premisa (p® q)  Ù (p’® q’) esto es lo que se muestra en la quinta columna de la tabla siguiente. La premisa solo es verdadera para p y q en 1.
.p        
-q       
(p® q)
(p’® q’)          
(p® q) Ù (p’® q’)      
[(p® q), (p’® q’])  ® (p® q)

0         
0         
1         
1         
1         
1

0         
1         
1         
0         
0         
1

1         
0         
0         
1         
0         
1

1         
1         
1         
1         
1         
1


Ahora se establece la veracidad de la conclusión (p® q). La misma se muestra en la tercera columna. Tal conclusión es verdadera tres veces, dos de ellas cuando la premisa también lo es.

Ahora si se puede establecer la veracidad del argumento:

Si (p® q) y (p’® q’), entonces (p® q).

De acuerdo al criterio de validez de un argumento: un argumento es valido cuando la premisa es verdadera haciendo verdadera la conclusión.

Se debe buscar cuando fue verdadera la premisa, o en p=q= 0 o en p=q=1; en esos casos se debe mirar la conclusión que valor tiene, para estos dos casos (p® q). se hace verdadera, luego el argumento es válido.

Una forma de demostrar lo mismo es verificar en la tabla con la operación implicación la premisa con la conclusión(cosa que se observa en la última columna) de la tabla de arriba, si se obtiene una tautología el argumento es válido.




Falacia

La falacia es el argumento que no es válido, es decir siendo verdadera la premisa, la conclusión resulta falsa. También se puede expresar como, la no obtención de tautología al implicar la premisa con la conclusión.

Ejemplo 1:

Averiguar si el siguiente argumento es válido

(p® q), (q® p) p

Se debe establecer la tabla de verdad de la premisa (p® q) Ù (q® p) esto es lo que se muestra en la quinta columna de la tabla siguiente.
.p        
-q       
(p® q)
(q® p)
(p® q) Ù (q® p)         
[(p® q), (q® p)] ® p

0         
0         
1         
1         
1         
0

0         
1         
1         
0         
0         
1

1         
0         
0         
1         
0         
0

1         
1         
1         
1         
1         
1


Ahora se establece la veracidad de la conclusión p.

Ahora si se puede establecer la veracidad del argumento:

Si (p® q) y (q® p), entonces p.

De acuerdo al criterio de validez de un argumento: un argumento es valido cuando la premisa es verdadera haciendo verdadera la conclusión.

Se debe buscar cuando fue verdadera la premisa:

La premisa es verdadera cuando o las dos p y q son falsas o las dos son verdaderas.

En esos casos se debe mirar la conclusión que valor tiene, para este caso p se hace verdadero dos veces en la línea 3 en la línea 4. Para ésta última premisa y conclusión son verdaderas, para la línea tres siendo verdadera la conclusión la premisa es falsa, lo que no importa. Pero, en la línea uno, la premisa siendo verdadera no da una conclusión falsa. Esto hace que el argumento no sea valido y por ende la proposición es una  falacia

Una forma de demostrar lo mismo es verificar en la tabla con la operación implicación la premisa con la conclusión(cosa que se observa en la última columna), si se obtiene una tautología el argumento es válido. Obsérvese que no hay tautológica, luego es una falacia.

Ejemplo 2:

Averiguar si el siguiente argumento es válido

(p® q), (p’® q’) p

Se debe establecer la tabla de verdad de la premisa (p® q) Ù (p’® q’) esto es lo que se muestra en la quinta columna de la tabla siguiente. La premisa solo es verdadera para p y q en 1 o las dos en cero.
.p        
-q       
(p® q)
(p’® q’)          
(p® q) Ù (p’® q’)      
[(p® q), (p’® q’]) ® p

0         
0         
1         
1         
1         
0

0         
1         
1         
0         
0         
1

1         
0         
0         
1         
0         
1

1         
1         
1         
1         
1         
1


Ahora se establece la veracidad de la conclusión p. La misma se muestra en la primera columna. Tal conclusión es verdadera dos veces, una de ellas cuando la premisa también lo es el otro caso cuando están las dos variables en cero.

Ahora si se puede establecer la veracidad del argumento:

Si (p® q) y (p’® q’), entonces p.

De acuerdo al criterio de validez de un argumento: un argumento es valido cuando la premisa es verdadera haciendo verdadera la conclusión.

Se debe buscar cuando fue verdadera la premisa, cosa que ya se preciso; en esos casos se debe mirar la conclusión que valor tiene, para las dos en "1" p se hace verdadera, pero en el caso en que las dos p y se hacen "0" p se hace "0" luego el argumento resulta ser una falacia.

Una forma de demostrar lo mismo es verificar en la tabla con la operación implicación la premisa con la conclusión(cosa que se observa en la última columna) de la tabla de arriba, si se obtiene una tautología el argumento es válido de lo contrario es una falacia, como lo demuestra la última columna.



LA IMPLICACIÓN LÓGICA

Se dice que una proposición p(p1, p2, p3,..,pn) implica lógicamente una proposición q(q1, q2, q3,..,qn) si q(q1, q2, q3,..,qn) es verdadera cada vez que p(p1, p2, p3,..,pn) sea verdadera. Es decir, cuando un argumento resulte ser valido.

Su representación es:

p(p1, p2, p3,..,pn) Þ q(q1, q2, q3,..,qn)

Ejemplo:

Verifique que p « q implica lógicamente p® q

Como argumento se puede expresar como:

p « q p® q

La tabla queda:
.p        
-q       
(p« q)  
(p® q)
(p« q) ® (p® q)

0         
0         
1         
1         
1

0         
1         
0         
1         
1

1         
0         
0         
0         
1

1         
1         
1         
1         
1


Luego sí es un argumento válido. Por tal hecho es una implicación lógica que se representa como:

(p« q) Þ (p® q)




REGLAS DE INFERENCIA Y DEMOSTRACIONES

2.3.3.1. Reglas de inferencia

Los argumentos basados en tautologías representan métodos de razonamiento universalmente correctos. Su validez depende solamente de la forma de las proposiciones que intervienen y no de los valores de verdad de las variables que contienen. A esos argumentos se les llama reglas de inferencia. Las reglas de inferencia permiten relacionar dos o más tautologías o hipótesis en una demostración.

En la sección anterior quedaron planteadas las principales equivalencias lógicas, ahora se enumerarán algunas de las inferencias básicas,para emplear en demostraciones :

  12.- Adición.

a). p Þ (p Ú q)

  13.- Simplificación.

a). (p Ù q) Þ p

  14.- Absurdo

a). (p® 0) Þ p'

  15.- Modus ponens.

a). [p Ù (p® q)] Þ q

  16.- Modus tollens.

a). [(p® q) Ù q']  Þ p'

  17.- Transitividad del ®

a). [(p« q) Ù (q« r)] Þ (p® r)

18.- Transitividad del ®

a). [(p® q) Ù (q® r)] Þ (p® r)

19.- Mas implicaciones lógicas.

a). (p® q) Þ [(p Ú r) ® (q Ú s)]

b). (p® q) Þ [(pÙ r) ® (qÙ s)]

c). (p® q) Þ [(q® r) ® (p® r)]

20.- Dilemas constructivos.

a). [(p® q) Ù (r® s)] Þ [(p  Ú r) ® (q Ú s)]

b). [(p® q) Ù (r® s)] Þ [(pÙ r) ® (qÙ s)]

 Todas estas implicaciones lógicas son demostrables con tablas de verdad.

A continuación se cita una lista de las principales reglas de inferencia que se pueden aplicar en una demostración, posteriormente se presentan algunos ejemplos aclaratorios.

21.- Adición

p

_____

\ p Ú q

22.- Simplificación

.p Ù q

_______

\ p

23.- Silogismo disyuntivo

.p Ú q

p’

___________

\ q

24.- Silogismo hipotético

p® q

q® r

________

p® r

25.- Conjunción

p

q

___________

p Ù q

26.- Modus pones

p

p® q

__________

.q

27.- Modus Tollens

p® q

q’

__________

.p’

A continuación se presentarán dos ejemplos de inferencias.

Ejemplo 1

¿Es valido el siguiente argumento?.

Si usted invierte en Tecnología, entonces se hará millonario.

Si se hace usted millonario, entonces será feliz.

____________________________________________________

\ Si usted invierte en tecnología, entonces será feliz.

Solución

Sea:

p: Usted invierte en tecnología.

q: Se hará millonario.

r: Será feliz

De tal manera que el enunciado anterior se puede representar con notación lógica de la siguiente manera:

  p ® q

q ® r

______

\ p ® r

Dando una ojeada a la implicación lógica  o inferencia del silogismo hipotético (24) el argumento es valido&.

Ejemplo 2.

  ¿Es valido el siguiente argumento?.

  Si bajan los impuestos, entonces se eleva el ingreso

El ingreso se eleva.

_________________________________________

\ Los impuestos bajan

  Solución:

Sea

p: Los impuestos bajan.

q: El ingreso se eleva.

p ® q

q

_____

\ p

No aparece en ninguna de las inferencias básicas y tampoco en ninguna de las reglas, de tal suerte que solo aplicando la tabla de verdad se sabrá si es verdadera o falsa. 
.p        
-q       
(p® q)
(p® q)  ® p

0         
0         
1         
0

0         
1         
1         
0

1         
0         
0         
1

1         
1         
1         
1


Resulta ser una falacia, luego no es un argumento valido. Por ello no aparece registrado en las reglas de inferencia.

Métodos de demostración.

Para demostrar que un argumento es válido se ha logrado, hasta ahora, a través del uso de tablas de verdad y en los dos últimos ejemplos con la aplicación de reglas de inferencia. En ésta, la parte final de la sección, se hará una formalización más precisa de tales reglas mediante los denominados método directo y método por contradicción.

Demostración por el método directo.

Supóngase que p ® q es una tautología, en donde p y q pueden ser proposiciones compuestas, en las que intervengan cualquier número de variables propositivas, se dice que q se desprende lógicamente de p. Supóngase una implicación de la forma.

p1 Ù p2 Ù p3 Ù .. Ù pn Þ q

Es una tautología. Entonces está implicación es verdadera sin importar los valores de verdad de cualquiera de sus componentes. En este caso, se dice que q se desprende lógicamente de p1, p2, p3 ,.. ,pn.* Se escribe.

p1

p2

p3

.

.

pn

______

\ q

Esto es realmente el camino que se debe seguir para llevar a cabo una demostración formal usando el método directo. Significa que sí se sabe que p1 es verdadera, p2 es verdadera,...... y  pn también es verdadera, entonces se sabe que q es verdadera.

Prácticamente todos los teoremas matemáticos están compuestos por implicaciones de este tipo.

(p1 Ù p2 Ù p3 Ù .. Ù pn) Þ q

Donde la pi son llamadas hipótesis o premisas, y q es llamada conclusión. "Demostrar el teorema", es demostrar que la implicación es una tautología. Note que no estamos tratando de demostrar que q (la conclusión) es verdadera, sino solamente que q es verdadera si todas las pi son verdaderas.

Toda demostración debe comenzar con las hipótesis, seguidas de las tautologías y reglas de inferencia necesarias, hasta llegar a la conclusión.

A continuación se prueba un enunciado en donde se puede apreciar el uso tanto de las tautologías como de las reglas de inferencia.

Ejemplo:

Sean

p: Trabajo.

q: Ahorro.

r: Compraré una casa.

s: Podré guardar el carro en mi casa.

Analizar el siguiente argumento:

"Si trabajo o ahorro, entonces compraré una casa. Si compro una casa, entonces podré guardar el carro en mi casa. Por consiguiente, si no puedo guardar el carro en mi casa, entonces no ahorro".

El enunciado anterior se puede representar como:

p Ú q ® r; y r ® s; entonces s' ® q'

Equivale también a probar el siguiente teorema:

[(p Ú q) ® r] Ù [r ® s] Þ [s' ® q']

Como se trata de probar un teorema de la forma general:

p1 Ù p2 Ù......Ù pn Þ q

Se aplica el procedimiento general para demostración de enunciados válidos. A continuación se demuestra el teorema respaldando cada uno de sus pasos en tautologías o reglas de inferencia ya conocidas.

1.- (p Ú q) ® r Hipótesis

2.- r ® s Hipótesis

3.- q ® (q Ú p) Adición tautología 12

4.- q ® (p Ú q) 3; ley conmutativa, regla 2

5.- q ® r 4,1; silogismo hipotético, regla 24

6.- q ® s 5,2; regla 22

7.- s' ® q' 6; contrapositiva, regla 7.

El enunciado es válido aunque la conclusión puede ser falsa o verdadera$.

Es recomendable numerar cada uno de los pasos. Se puede notar que las primeras líneas son hipótesis, la línea 3 es una tautología conocida y de la línea 4 a 7 se obtuvieron aplicando reglas de inferencia. Se indica la regla de inferencia aplicada por medio del número de la derecha, y las líneas a las cuales se les aplicó dicha regla de inferencia por medio de los números de la izquierda.

El ejemplo anterior es una demostración sencilla, pero puede ser tan complicada como sea necesario y el método debe funcionar.


Demostración por contradicción.

El procedimiento de la demostración por contradicción es semejante a la que se realizó por el método directo con la diferencia de que las líneas iniciales de dicha demostración no son únicamente las hipótesis, sino además se incluye en la demostración una línea con la negación de la conclusión. Por otro lado el objetivo de la demostración es llegar a una contradicción.

[ p ® (p Ù r) ] Ù [ (q Ú s) ® t ] Ù (p Ú s) Þ t

La demostración del teorema por el método de contradicción es como se indica

Demostración

1.- p ® (p Ù r) Hipótesis

2.- (q Ú s) ® t Hipótesis

3.- p Ú s Hipótesis

4.- t’ Negación de la conclusión

5.- (q Ú s)’ 2,4; Modus tollens, regla 27

6.- q’ Ù s’ 5; Ley de Morgan, 6 a.

7.- q’ 6; Simplificación, regla 22

8.- s’ Ù q’ 6; Ley conmutativa, 2b

9.- s’ 8; Simplificación, regla 22

10.- s Ú p 3; Ley conmutativa, 2 a

11.- p 10,9; Silogismo disyuntivo, regla 23

12.- q Ù r 11,1; Modus ponens, regla 26

13.- q 12; Simplificación, regla 22

14.- q Ù q’ 13,7; Conjunción, regla 25

15.- Contradicción.

Note que juntamente con las premisas se debe incluir la negación de la conclusión.




Observaciones Concluyentes.

Todo enunciado puede ser planteado en términos de teoremas. Un teorema por lo general es resultado de un planteamiento de un problema, este planteamiento debe tener el siguiente formato.

p1 Ù p2 Ù p3 Ù .. Ù pn Þ q

Como se establece p1, p2 ,......,pn son hipótesis (o premisas) derivadas del mismo problema y que se consideran válidas. Pero además deberán conectarse con el operador And (Ù ), lo cual implica que p1 es cierta y (Ù ) p2 es verdad y (Ù )...... y pn también es cierta entonces (Þ ) la conclusión (q) es cierta. Para realizar la demostración formal del teorema se deberá partir de las hipótesis, y después obtener una serie de pasos que también deben ser válidos, ya que son producto de reglas de inferencia. Sin embargo no solamente las hipótesis y reglas de inferencia pueden aparecer en una demostración formal, sino también tautologías conocidas. En el teorema anterior cada uno de los pasos p1, p2,...pn son escalones que deberán alcanzarse hasta llegar a la solución.

Una demostración formal equivale a relacionar esquemas para formar estructuras cognitivas. Sí se sabe inferir soluciones lógicas, se estará en condiciones de resolver todo tipo de problemas.

Uno de los objetivos principales del constructivismo, es la construcción del conocimiento. El tema de "lógica matemática", se presta para que se pueda realizar las relaciones entre las distintas proposiciones, esto permite crear nuevas formas de resolver problemas en distintas ramas: matemáticas, física, química pero también en las ciencias sociales y por su puesto cualquier problema de la vida real. Porque cada vez que nos enfrentamos a un problema, manipulamos la información por medio de reglas de inferencia que aunque no estén escritas debemos respetar. Cada vez que realizamos una actividad empleamos la lógica para realizarla, quizá algunos realicen dicha actividad por caminos más corto, otros realizan recorridos más largos, pero al fin de cuentas lo que importa es llegar al resultado.





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5.3 comprobación de razonamiento de lógica simbólica mediante tablas de la verdad o aplicando reglas de interferencia.
http://es.wikipedia.org/wiki/Tabla_de_verdad


Tabla de verdad
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Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de valores de verdad que se pueda asignar a sus componentes.1

Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los años 1880, pero el formato más popular es el que introdujo Ludwig Wittgenstein en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1921.Índice  [ocultar]
1 Definiciones en el cálculo lógico
1.1 Verdadero
1.2 Falso
1.3 Variable
1.4 Negación
1.5 Conjunción
1.6 Disyunción
1.7 Implicación o Condicional
1.8 Equivalencia o Bicondicional
2 Número de combinaciones
2.1 Para cero variables
2.2 Para una variable
2.3 Para dos variables
3 Tablas de verdad
3.1 Verdad Indeterminada o Contingencia
3.2 Contradicción
3.3 Tautologías
4 Tablas de verdad, proposiciones lógicas y argumentos deductivos
5 Aplicaciones
5.1 Cálculo lógico
5.2 Lógica de circuitos
5.3 Desarrollo del algoritmo fundamental en lógica de circuitos
6 Véase también
7 Notas y referencias
8 Enlaces externos

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Definiciones en el cálculo lógico
Artículo principal: Cálculo lógico.

Para establecer un Sistema formal se establecen las definiciones de los operadores. Las definiciones se harán en función del fin que se pretenda al construir el sistema que haga posible la formalización de argumentos:
Como razonamientos deductivos lógico-lingüísticos
Como construcción de un sistema matemático puro
Como una aplicación lógica en un Circuito de conmutación.
[editar]
Verdadero                        


El valor verdadero se representa con la letra V; si se emplea notación numérica se expresa con un uno: 1; en un circuito eléctrico, el circuito esta cerrado.


[editar]
Falso                    


El valor falso se representa con la letra F; si se emplea notación numérica se expresa con un cero: 0; en un circuito eléctrico, el circuito esta abierto.

[editar]
Variable                             


Para una variable lógica A, B, C, ... que pueden ser verdaderas V, o falsas F, los operadores fundamentales se definen así:



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Negación                           


La negación es un operador que se ejecuta, sobre un único valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de la proposición considerada.



[editar]
Conjunción                                      


La conjunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro caso. Es decir es verdadera cuando ambas son verdaderas

La tabla de verdad de la conjunción es la siguiente:


Que se corresponde con la columna 8 del algoritmo fundamental.


[editar]
Disyunción                                       
                                              


La disyunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas.

La tabla de verdad de la disyunción es la siguiente:


Que se corresponde con la columna 2 del algoritmo fundamental.


[editar]
Implicación o Condicional                                        
                                              


El condicional material es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, y verdadero en cualquier otro caso.

La tabla de verdad del condicional material es la siguiente:


Que se corresponde con la columna 5 del algoritmo fundamental.


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Equivalencia o Bicondicional                                   
                                              


El bicondicional o doble implicación es un operador que funciona sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, y falso cuando sus valores de verdad diferente.

La tabla de verdad del bicondicional es la siguiente:




Que se corresponde con la columna 7 del algoritmo fundamental.
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Número de combinaciones

Partiendo de un número n de variables, cada una de las cuales puede tomar el valor verdadero: V, o falso: F, por Combinatoria, podemos saber que el número total de combinaciones: Nc, que se pueden presentar es:


el número de combinaciones que se pueden dar con n variable, cada una de las cuales puede tomar uno entre dos valores lógicos es de dos elevado a n, esto es, el número de combinaciones: Nc, tiene crecimiento exponencial respecto al número de variable n:


Si consideramos que un sistema combinacional de n variables binarias, puede presentar un resultado verdadero: V, o falso: F, para cada una de las posibles combinaciones de entrada tenemos que se pueden construir Cp circuitos posibles con n variables de entrada, donde:


Que da como resultado la siguiente tabla:


Para componer una tabla de verdad, pondremos las n variables en una línea horizontal, debajo de estas variables desarrollamos las distintas combinaciones que se pueden formar con V y F, dando lugar a la distintas Nc, número de combinaciones. Normalmente solo se representa la función para la que se confecciona la tabla de verdad, y en todo caso funciones parciales que ayuden en su cálculo, en la figura, se pueden ver todas las combinaciones posibles Cp, que pueden darse para el número de variables dado.



Así podemos ver que para dos variables binarias: A y B, n= 2 , que pueden tomar los valores V y F, se pueden desarrollar cuatro combinaciones: Nc= 4, con estos valores se pueden definir dieciséis resultados distintos, Cp= 16, cada una de las cuales seria una función de dos variables binarias. Para otro número de variables se obtendrán los resultados correspondientes, dado el crecimiento exponencial de Nc, cuando n toma valores mayores de cuatro o cinco, la representación en un cuadro resulta compleja, y si se quiere representar las combinaciones posibles Cp, resulta ya complejo para n= 3.
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Para cero variables                       

                              



Un circuito sin variables, puede presentar una combinación posible: Nc=1, con dos circuitos posibles: Cp=2. Que serían el circuito cerrado permanentemente, y el circuito abierto permanentemente. 1             2
·                             
                V             F


En este caso se puede ver que no interviene ninguna variable.

Cada uno de estos circuitos admite una única posición y hay dos circuitos posibles.


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Para una variable

El caso de una variable binaria, que puede presentar dos combinaciones posibles: Nc=2, con 4 circuitos posibles: Cp=4.                1             2             3             4
A             ·A           ·A           ·A           ·A
V             V             V             F             F
F             V             F             V             F


Los casos 1 y 4 coinciden con los de cero variables, el caso 2 la salida es la de la variable y el caso 3 la negación de la variable.
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Para dos variables

Considérese dos variables proposicionales A y B.2 Cada una puede tomar uno de dos valores de verdad: o V (verdadero), o F (falso). Por lo tanto, los valores de verdad de A y de B pueden combinarse de cuatro maneras distintas: o ambas son verdaderas; o A es verdadera y B falsa, o A es falsa y B verdadera, o ambas son falsas. Esto puede expresarse con una tabla simple:


Considérese además a "·" como una operación o función lógica que realiza una función de verdad al tomar los valores de verdad de A y de B, y devolver un único valor de verdad. Entonces, existen 16 funciones distintas posibles, y es fácil construir una tabla que muestre qué devuelve cada función frente a las distintas combinaciones de valores de verdad de A y de B.                             1             2             3             4             5             6             7             8             9             10           11           12           13                14           15           16
A             B             A·B         A·B         A·B         A·B         A·B         A·B         A·B         A·B         A·B         A·B         A·B         A·B         A·B         A·B                A·B         A·B
V             V             V             V             V             V             V             V             V             V             F             F             F             F             F             F                F             F
V             F             V             V             V             V             F             F             F             F             V             V             V             V             F             F                F             F
F             V             V             V             F             F             V             V             F             F             V             V             F             F             V             V                F             F
F             F             V             F             V             F             V             F             V             F             V             F             V             F             V             F                V             F


Las dos primeras columnas de la tabla muestran las cuatro combinaciones posibles de valores de verdad de A y de B. Hay por lo tanto 4 líneas, y las 16 columnas despliegan todos los posibles valores que puede devolver una función "·".

De esta forma podemos conocer mecánicamente, mediante algoritmo, los posibles valores de verdad de cualquier conexión lógica interpretada como función, siempre y cuando definamos los valores que devuelva la función.

Se hace necesario, pues, definir las funciones que se utilizan en la confección de un sistema lógico.

De especial relevancia se consideran las definiciones para el Cálculo de deducción natural y las puertas lógicas en los circuitos electrónicos.
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Tablas de verdad

Las tablas nos manifiestan los posibles valores de verdad de cualquier proposición molecular, así como el análisis de la misma en función de las proposicíones que la integran, encontrándonos con los siguientes casos:
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Verdad Indeterminada o Contingencia


Se entiende por verdad contingente, o verdad de hecho, aquella proposición que puede ser verdadera o falsa, según los valores de las proposiciones que la integran. Sea el caso: .

Su tabla de verdad se construye de la siguiente manera:

Ocho filas que responden a los casos posibles que pueden darse según el valor V o F de cada una de las proposiciones A, B, C. (Columnas 1, 2, 3)

Una columna (Columna 4) en la que se establecen los valores de  aplicando la definición del disyuntor a los valores de B y de C en cada una de las filas.(Columnas 2,3 → 4)

Una columna (columna 5) en la que se establecen los valores resultantes de aplicar la definición de la conjunción entre los valores de A (columna 1) y valores de la columna , (columna 4) que representarán los valores de la proposición completa , cuyo valor de verdad es V o F según la fila de los valores de A, B, y C que consideremos. (Columnas 1,4 → 5)

Donde podemos comprobar cuándo y por qué la proposición  es V y cuándo es F.                                                                                      
                                                                                             

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Contradicción
Artículo principal: Contradicción.                          
                              
               


Se entiende por proposición contradictoria, o contradicción, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso:


Procederemos de manera similar al caso anterior. Partiendo de la variable A y su contradicción, la conjunción de ambos siempre es falso, dado que si A es verdad su contradicción es falsa, y si A es falsa su contradicción es verdad, la conjunción de ambas da falso en todos los casos.
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Tautologías
Artículo principal: Tautología.                 
                              
               


Se entiende por proposición tautológica, o tautología, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es V. Dicho de otra forma, su valor V no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso:


Siguiendo la mecánica algorítmica de la tabla anterior construiremos su tabla de verdad, tenemos la variable A en disyunción con su contradicción, si A es verdad, su negación es falsa y si A es falsa su negación es verdad, en cualquier caso una de las dos alternativas es cierta, y su disyunción es cierta en todos los casos.
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Tablas de verdad, proposiciones lógicas y argumentos deductivos
Artículo principal: Cálculo lógico.

En realidad toda la lógica está contenida en las tablas de verdad, en ellas se nos manifesta todo lo que implican las relaciones sintácticas entre las diversas proposiciones.

No obstante la sencillez del algoritmo, aparecen dos dificultades.
La gran cantidad de operaciones que hay que hacer para una proposición con más de 4 variables.

Esta dificultad ha sido magníficamente superada por la rapidez de los ordenadores, y no presenta dificultad alguna.
Que únicamente será aplicable a un esquema de inferencia, o argumento cuando la proposición condicionada, como conclusión, sea previamente conocida, al menos como hipótesis, hasta comprobar que su tabla de verdad manifiesta una tautología.

Por ello se construye un cálculo mediante cadenas deductivas:

Las proposiciones que constituyen el antecedente del esquema de inferencia, se toman como premisas de un argumento.

Se establecen como reglas de cálculo algunas tautologías como tales leyes lógicas, (pues garantizan, por su carácter tautológico, el valor V).

Se permite la aplicación de dichas reglas como reglas de sustitución de fórmulas bien formadas en las relaciones que puedan establecerse entre dichas premisas.

Deduciendo mediante su aplicación, como teoremas, todas las conclusiones posibles que haya contenidas en las premisas.

Cuando en un cálculo se establecen algunas leyes como principios o axiomas, el cálculo se dice que es axiomático.

El cálculo lógico así puede utilizarse como demostración argumentativa.
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Aplicaciones
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Cálculo lógico

La aplicación fundamental se hace cuando se construye un sistema lógico que modeliza el lenguaje natural sometiéndolo a unas reglas de formalización del lenguaje. Su aplicación puede verse en el cálculo lógico.
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Lógica de circuitos
Artículo principal: Puerta lógica.

Puertas lógicas para circuitos eléctricos

Una aplicación importante de las tablas de verdad procede del hecho de que, interpretando los valores lógicos de verdad como 1 y 0 (lógica positiva) en el sentido que
valor "1" permite el paso de corriente eléctrica; y
valor "0" corta el paso de dicha corriente.

Los valores de entrada o no entrada de corriente a través de un diodo pueden producir una salida 0 ó 1 según las condiciones definidas como función según las tablas mostradas anteriormente.

Así se establecen las algunas funciones básicas: AND, NAND, OR, NOR, XOR, XNOR (o NXOR), que se corresponden con las funciones definidas en las columnas 8, 9, 2, 15, 10 y 7 respectivamente, y la función NOT.

En lugar de variables proposicionales, considerando las posibles entradas como EA y EB, podemos armar una tabla análoga de 16 funciones como la presentada arriba, con sus equivalentes en lógica de circuitos.EA    EB           Verdad EA OR EB           EA OR NOT (EB)               BUFFER EA          NOT(EA) OR EB BUFFER EB          EA XNOR EB       EA AND EB          EA NAND EB                EA XOR EB          NOT EB EA AND NOT(EB)             NOT(EA)              NOT(EA) AND EB             NOR      Falso
                                                                                                                                                                                                                                                                         
1             1             1             1             1             1             1             1             1             1             0             0             0             0             0             0                0             0
1             0             1             1             1             1             0             0             0             0             1             1             1             1             0             0                0             0
0             1             1             1             0             0             1             1             0             0             1             1             0             0             1             1                0             0
0             0             1             0             1             0             1             0             1             0             1             0             1             0             1             0                1             0


Esta aplicación hace posible la construcción de aparatos capaces de realizar estas computaciones a alta velocidad, y la construcción de circuitos que utilizan este tipo de análisis se hace por medio de puertas lógicas.

La Tabla de la verdad es una herramienta imprescindible en la recuperación de datos en las bases de datos como Internet con los motores de búsqueda o en una biblioteca con sus ficheros informatizados. Así mismo se utilizan para programar simulaciones lógicas de inteligencia artificial con lenguajes propios. También en modelos matemáticos predictores: meteorología, marketing y otros muchos.


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Desarrollo del algoritmo fundamental en lógica de circuitos
Artículo principal: Formas canónicas (álgebra de Boole).
Artículo principal: Circuito de conmutación.

La definición de la tabla de verdad corresponde a funciones concretas, en cada caso, así como a implementaciones en cada una de las tecnologías que pueden representar funciones lógicas en binario, como las puertas lógicas o los circuitos de conmutación. Se entenderá como verdad la conexión que da paso a la corriente; en caso contrario se entenderá como falso. Veamos la presentación de los dieciséis casos que se presentan con dos variables binarias A y B:
Caso 1
Artículo principal: Tautología (lógica).                 
               


El primer caso en una función lógica que para todas las posibles combinaciones de A y B, el resultado siempre es verdadero, es un caso de tautología, su implementación en un circuito es una conexión fija.



Caso 2
Artículo principal: Disyunción lógica.                                  
                                              
               


En este segundo caso el resultado solo es falso si A y B son falsos, si una de las dos variables es verdad el resultado es verdad.

La función seria:



Caso 3                                 
                                              
               


En el tercer caso es verdad si A es verdad y cuando A y B son falsos el resultado también es verdad.

Su función seria:



Caso 4                 
               


En el cuarto caso la función es cierta si A es cierta, los posibles valores de B no influyen en el resultado.

La función solo depende de A:



Caso 5
Artículo principal: Condicional material.                                           
                                              
               


En el quinto caso si A es falso el resultado es verdadero, y si A y B son verdaderos el resultado también es verdadero, puede verse que este caso es idéntico al tercero permutando A por B.

Y si función es:



Caso 6                 
               


En el sexto caso la función es cierta si B es cierta, los valores de A no influyen en el resultado.

La función solo depende de B:



Caso 7
Artículo principal: Bicondicional.                                          
                                              
               


El séptimo caso corresponde a la relación bicondicional entre A y B, el resultado solo es verdad si A y B son ambos verdad o si A y B son ambos falsos.





Caso 8
Artículo principal: Conjunción lógica.                                  
               


En el octavo caso el resultado es verdad si A y B son verdad, en el resto de los valores de A y B el resultado es falso, corresponde a la conjunción de A y B, equivalente a un circuito en serie.





Caso 9                                 
                                              
               


En el noveno caso el resultado solo es falso si A y B son verdad, en el resto de los valores de A y B el resultado es verdadero, corresponde a la disyunción de la negación A y de B, equivalente a un circuito en paralelo de conexiones inversas.





Caso 10
Artículo principal: Disyunción exclusiva.                                           
                                              
               


Podemos ver que el décimo caso es lo opuesto a la bicondicional, solo es verdad si A y B discrepan, si A y B son diferentes el valor es verdad, si A y B son iguales el resultado es falso.



Caso 11
Artículo principal: Negación lógica.                      
               


En este caso podemos ver que cuando B es verdad el resultado es falso y que cuando B es falso el resultado es verdadero, independientemente del valor de A, luego la función solo depende de B, en sentido inverso.



Caso 12                                              
               


En el caso doce, vemos que solo hay un combinación de A y B con resultado verdadero, que es A y la negación de B.



Caso 13
Artículo principal: Negación lógica.                      
               


En el caso decimotercero podemos ver que el resultado es el opuesto de A, independientemente del valor de B:



Caso 14                                              
               


Caso decimocuarto, el resultado de la función solo es verdad si A es falso y B verdadero, luego es equivalente a un circuito en serie de A en conexión inversa y de B en conexión directa.



Caso 15                                              
               


En el caso decimoquinto, el resultado solo es verdad si A y B son falsos, Luego es necesario que tanto A como B sean falsos para que el resultado sea verdadero.



Caso 16
Artículo principal: Contradicción.                          
               


Por último en el caso decimosexto, tenemos que el resultado siempre es falso independientemente de los valores de A o de B.



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Véase también

2 comentarios:

  1. Me parece muy bueno gracias por tu aporte, también déjame decirte que por alguna razón las imágenes no son visibles.

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  2. Gracias, espero que se solucione el problema de las imágenes, ya que no se muestran.

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